Power Roots Subtraction

ss_yo2
Originally Discovered by Leonardo Sembiring
Melialamath Applications. Copyright 2009.
See also : Indonesia Version, Power Roots Summation

Smart solution : Subtraction of power roots of a quadratic equation.
Comment : POWERFUL SOLUTION (ART OF A PATTERN)

The quadratic equation : x2 – x + 1 = 0 has roots x1 and x2.
Find the value of x150 – x250.

Solution :
Subtraction of power roots can be formed as sum of terms of combination (x1– x2), (x1+ x2) and (x1x2). Each term comprises of :
1. Multiplied factor, times,
2. (x1– x2), times,
3. (x1+ x2) to the power starting from n-degree minus 1 (n-1) and step down by 2 for the next term, times,
4. (x1x2) to the power starting from zero-degree and step up by 1 for the next term.

Example :
The terms of 10-degree.
x110– x210 = {(x1– x2)} {a0.(x1+ x2)9 + a1.(x1+ x2)7(x1x2)1 + a2.(x1+ x2)5(x1x2)2 + a3.(x1+ x2)3(x1x2)3 + a4.(x1+ x2)1(x1x2)4}

where a0, a1, a2,…… are multiplied factors.

How to determine the multiplied factors? Following are the instructions.

Instructions :
1. Write down number 1 in first column with (n-1)-times
2. Put number 1 as initial value of that column, -1 in the second column, 1 in the third column, and so on, step down by one row alternately.
3. Subtract the second column to the first column at the same row, starting from initial value, and put the result below the one subtracted.
4. Repeat step 3, subtract the third column to the second column, and so on, until the shape of the figures similar with an isosceles-triangle form.
5. The lower side of triangle are the multiplied factors of the equation.

Example :
The figures scheme for 10-degree.

Col1 Col2 Col3 Col4 Col5 Col6
1
1 -1
1 -2 1
1 -3 3 -1
1 -4 6 -4 1
1 -5 10 -10 5
1 -6 15 -20
1 -7 21
1 -8
1

Second column, subtract -1 (initial value) by 1 (to the left) to get -2, subtract -2 by 1 (to the left) to get -3, and so on. Third column, subtract 1 (initial value) by -2 (to the left) to get 3, subtract 3 by -3 (to the left) to get 6, and so on. Repeat the iteration until the form of figures similar with isosceles-triangle.

Therefore, the multiplied factor for 10-degrees are 1, -8, 21, -20, and 5.

Rewrite the equation above:
x110– x210 = {(x1– x2)} {1.(x1+ x2)9 + -8.(x1+ x2)7(x1x2)1 + 21.(x1+ x2)5(x1x2)2 + -20.(x1+ x2)3(x1x2)3 + 5.(x1+ x2)1(x1x2)4}

From the figures above, you can also express the terms with degree less than 10, let say 5 degree.
x15– x25 = {(x1– x2)}{1.(x1+ x2)4 + -3.(x1+ x2)2(x1x2)1 + 1.(x1x2)2}

Alternative Solution
Alternatively, you can use the following formula to determine the multiplied factors.
ak = (-1)k.[(n-k-1)!]/[(n-2k-1)! k!] , where n is degree of the equation.

For 10-degree, we have :
a0 = (-1)0.[(10-0-1)!]/[(10-2.0-1)! 0!] = 9!/9! = 1
a1 = (-1)1.[(10-1-1)!]/[(10-2.1-1)! 1!] = (-1).8!/7! = -8
a2 = (-1)2.[(10-2-1)!]/[(10-2.2-1)! 2!] = 7!/(5!.2!) = 21
a3 = (-1)3.[(10-3-1)!]/[(10-2.3-1)! 3!] = (-1).6!/(3!.3!) = -20
a4 = (-1)4.[(10-4-1)!]/[(10-2.4-1)! 4!] = 5!/(1!.4!) = 5

The answer of main question above, x150– x250 = x1– x2. This is left as exercise to the reader.


Indonesia Version
Persamaan kuadrat : x2 – x + 1 = 0 mempunyai akar-akar persamaan x1 dan x2.
Tentukan nilai dari x150 – x250.

Penyelesaian :
Jumlah pangkat akar persamaan kuadrat dapat disajikan atas suku-suku (x1– x2), (x1+ x2) dan (x1x2). Setiap suku tersebut terdiri dari :
1. Faktor pengali, dikalikan dengan,
2. (x1– x2), dikalikan dengan,
3. (x1+ x2) dimulai dengan pangkat n, dan menurun dengan 2 angka untuk suku berikutnya, dikalikan dengan,
4. (x1x2) dimulai dengan pangkat 0, menaik dengan 1 angka untuk suku berikutnya.

Contoh :
Kesamaan untuk pangkat 10.
x110– x210 = {(x1– x2)} {a0.(x1+ x2)9 + a1.(x1+ x2)7(x1x2)1 + a2.(x1+ x2)5(x1x2)2 + a3.(x1+ x2)3(x1x2)3 + a4.(x1+ x2)1(x1x2)4}

dimana a0, a1, a2,…… adalah faktor pengali.

Bagaimana menentukan faktor pengali? Berikut petunjuknya.

Petunjuk :
1. Tulis angka 1 sebanyak (n-1)-kali di kolom pertama.
2. Tulis angka 1 sebagai nilai awal kolom tersebut, angka -1 pada kolom kedua, angka 1 pada kolom ketiga, dan seterusnya, turun satu baris secara bergantian.
3. Kurangkan kolom kedua terhadap kolom pertama, dimulai dari nilai awal, dan tuliskan hasilnya di bawah angka yang dikurangkan pada kolom kedua.
4. Ulangi langkah 3, kurangkan kolom ketiga terhadap kolom kedua, dan seterusnya, hingga bentuk rangkaian angka-angka tersebut mirip dengan segitiga sama sisi.
5. Sisi bawah dari segitiga tersebut memuat faktor pengali yang dimaksud.

Contoh :
Berikut tabel untuk pangkat 10.

Col1 Col2 Col3 Col4 Col5 Col6
1
1 -1
1 -2 1
1 -3 3 -1
1 -4 6 -4 1
1 -5 10 -10 5
1 -6 15 -20
1 -7 21
1 -8
1

Tuliskan angka 1 sebagai nilai awal dan angka 1 sebanyak 9 kali di bawah nilai awal tersebut. Pada kolom kedua, kurangkan -1 sebagai nilai awal dengan 1 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil -2, kurangkan -2 dengan 1 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil -3, dan seterusnya. Pada kolom ketiga, kurangkan 1 sebagai nilai awal dengan -2 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil 3, kurangkan 3 dengan -3 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil 6, dan seterusnya. Ulangi langkah tersebut hingga bentuk deretan angka tersebut berbentuk segitiga sama sisi.

Maka, faktor pengali untuk pangkat 10 adalah 1, -8, 21, -20, and 5.

Tuliskan kembali kesamaan untuk pengurangan pangkat 10 :
x110– x210 = {(x1– x2)} {1.(x1+ x2)9 + -8.(x1+ x2)7(x1x2)1 + 21.(x1+ x2)5(x1x2)2 + -20.(x1+ x2)3(x1x2)3 + 5.(x1+ x2)1(x1x2)4}

Dari tabel di atas, dapat juga ditentukan kesamaan untuk pangkat kurang dari 10, misalnya 5.
x15– x25 = {(x1– x2)}{1.(x1+ x2)4 + -3.(x1+ x2)2(x1x2)1 + 1.(x1x2)2}

Rumus Faktor Pengali
Dengan cara lain, menentukan faktor pengali dapat menggunakan rumus berikut.
ak = (-1)k.[(n-k-1)!]/[(n-2k-1)! k!] , dimana n adalah pangkat pengurangan.

Dengan rumus di atas, maka faktor pengali untuk pangkat 10 adalah :
a0 = (-1)0.[(10-0-1)!]/[(10-2.0-1)! 0!] = 9!/9! = 1
a1 = (-1)1.[(10-1-1)!]/[(10-2.1-1)! 1!] = (-1).8!/7! = -8
a2 = (-1)2.[(10-2-1)!]/[(10-2.2-1)! 2!] = 7!/(5!.2!) = 21
a3 = (-1)3.[(10-3-1)!]/[(10-2.3-1)! 3!] = (-1).6!/(3!.3!) = -20
a4 = (-1)4.[(10-4-1)!]/[(10-2.4-1)! 4!] = 5!/(1!.4!) = 5

Penyelesaian dari contoh soal di atas adalah x150– x250 = x1– x2. Silahkan membuktikannya.

Advertisements