Factorial Series

Excellent Problems
Melialamath Applications. 2009.
See also : Indonesia Version

Problem :
Simplify the sum of 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + …. (n-1).(n-1)! + n.n! in terms of n.

Solution :
Start with the term n.n!. It can be written as :
n.n! = n.n! + n! – n! = (n + 1).n! – n! = (n+1)! – n!

As a result, we can rewrite the sum of series as:
(2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ………. + [n! – (n-1)!] + [(n+1)! – n!]

First term versus second term, 2! and -2! added to zero, second term versus third term, 3! and -3! added to zero as well, and so on. The remain items are -1! in the first term and (n+1)! in the last term, while the sum of the others is zero.

Therefore, the sum of the series above is:
1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + …. (n-1).(n-1)! + n.n! = (n+1)! – 1! = (n+1)! – 1.


Indonesia Version
Soal :
Sederhanakan deret berikut : 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + …. (n-1).(n-1)! + n.n!

Solution :
Perhatikan bentuk n.n!. Bentuk tersebut dapat ditulis sebagai :
n.n! = n.n! + n! – n! = (n + 1).n! – n! = (n+1)! – n!

Dengan demikian, bentuk deret tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
(2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) + ………. + [n! – (n-1)!] + [(n+1)! – n!]

Perhatikan suku pertama dan kedua, 2! dan -2!, apabila dijumlahkan sama dengan nol. Demikian juga dengan suku kedua dan ketiga, 3! dan -3!, apabila dijumlahkan sama dengan nol, dan seterusnya. Bagian yang masih tersisa adalah -1! pada suku pertama dan (n+1)! pada suku terakhir, sementara yang lainnya apabila dijumlahkan sama dengan nol.

Maka jumlah deret tersebut adalah :
1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + …. (n-1).(n-1)! + n.n! = (n+1)! – 1! = (n+1)! – 1.

Regards,
MApps

Advertisements