Power Roots Summation

ss_yo2
Originally Discovered by Leonardo Sembiring
Melialamath Applications. Copyright 2009.
See also : Indonesia Version, Power Roots Subtraction

Smart solution : Sum of power roots of a quadratic equation.
Comment : POWERFUL SOLUTION (ART OF A PATTERN)

The quadratic equation : x2 – x + 1 = 0 has roots x1 and x2.
Find the value of x150 + x250.

Solution :
Sum of power roots can be formed as sum of terms of combination (x1+ x2) and (x1x2). Each term comprises of :
1. Multiplied factor, times,
2. (x1+ x2) to the power starting from n-degree and step down by 2 for the next term, times,
3. (x1x2) to the power starting from zero-degree and step up by 1 for the next term.

Example :
The terms of 10-degree.
x110+ x210 = a0.(x1+ x2)10 + a1.(x1+ x2)8(x1x2)1 + a2.(x1+ x2)6(x1x2)2 + a3.(x1+ x2)4(x1x2)3 + a4.(x1+ x2)2(x1x2)4 + a5.(x1x2)5

where a0, a1, a2,…… are multiplied factors.

How to determine the multiplied factors? Following are the instructions.

Instructions :

  1. Write down number 1 in first column with n-times
  2. Put number 2 as initial value of that column, -2 in the second column, 2 in the third column, and so on, step down by one row alternately.
  3. Subtract the second column to the first column at the same row, starting from initial value, and put the result below the one subtracted.
  4. Repeat step 3, subtract the third column to the second column, and so on, until the shape of the figures similar with an isosceles-triangle form.
  5. The lower side of triangle are the multiplied factors of the equation.

Example :
The figures scheme for 10-degree.

Col1 Col2 Col3 Col4 Col5 Col6
2
1 -2
1 -3 2
1 -4 5 -2
1 -5 9 -7 2
1 -6 14 -16 9 -2
1 -7 20 -30 25
1 -8 27 -50
1 -9 35
1 -10
1


Write down 2 followed by 1 in 10 times in the first column. In the second column, write down -2 as initial value then subtract -2 (initial value) by 1 (to the left) to get -3, subtract -3 by 1 (to the left) to get -4, and so on. Third column, write down 2 as initial value, subtract 2 (initial value) by -3 (to the left) to get 5, subtract 5 by -4 (to the left) to get 9, and so on. Repeat the iteration until the form of figures similar with isosceles-triangle.

Therefore, the multiplied factors for 10-degree are 1, -10, 35, -50, 25, and -2.

Rewrite the equation above:
x110+ x210 = 1.(x1+ x2)10 + -10.(x1+ x2)8(x1x2)1 + 35.(x1+ x2)6(x1x2)2 + -50.(x1+ x2)4(x1x2)3 + 25.(x1+ x2)2(x1x2)4 + -2.(x1x2)5

From the figures on the table above, you can also express the terms for degree less than 10, let say 5 degree.
x15+ x25 = 1.(x1+ x2)5 + -5.(x1+ x2)3(x1x2)1 + 5.(x1+ x2)1(x1x2)2

Alternative Solution
Alternatively, you can use the following formula to determine the multiplied factors.
ak = (-1)k.[n (n-k-1)!]/[(n-2k)! k!] , where n is degree of the equation.

For 10-degree, we have :
a0 = (-1)0.[10.(10-0-1)!]/[(10-2.0)! 0!] = 10.9!/10! = 1
a1 = (-1)1.[10.(10-1-1)!]/[(10-2.1)! 1!] = (-1).10.8!/8! = -10
a2 = (-1)2.[10.(10-2-1)!]/[(10-2.2)! 2!] = 10.7!/(6!.2!) = 35
a3 = (-1)3.[10.(10-3-1)!]/[(10-2.3)! 3!] = (-1).10.6!/(4!.3!) = -50
a4 = (-1)4.[10.(10-4-1)!]/[(10-2.4)! 4!] = 10.5!/(2!.4!) = 25
a5 = (-1)5.[10.(10-5-1)!]/[(10-2.5)! 5!] = (-1).10.4!/0!.5! = -2

The answer of main question above, x150+ x250 = -1. This is left as exercise to the reader.


Indonesia Version
Persamaan kuadrat : x2 – x + 1 = 0 mempunyai akar-akar persamaan x1 dan x2.
Tentukan nilai dari x150 + x250.

Penyelesaian :
Jumlah pangkat akar persamaan kuadrat dapat disajikan atas suku-suku (x1+ x2) dan (x1x2). Setiap suku tersebut terdiri dari :

  1. Faktor pengali, dikalikan dengan,
  2. (x1+ x2) dimulai dengan pangkat n, dan menurun dengan 2 angka untuk suku berikutnya, dikalikan dengan,
  3. (x1x2) dimulai dengan pangkat 0, menaik dengan 1 angka untuk suku berikutnya.

Contoh :
Penjumlahan pangkat 10 dari akar-akar persamaan kuadrat dapat disajikan dalam bentuk :
x110+ x210 = a0.(x1+ x2)10 + a1.(x1+ x2)8(x1x2)1 + a2.(x1+ x2)6(x1x2)2 + a3.(x1+ x2)4(x1x2)3 + a4.(x1+ x2)2(x1x2)4 + a5.(x1x2)5

dimana a0, a1, a2,…… masing-masing adalah faktor pengali.

Bagaimana menentukan faktor pengali? Berikut petunjuknya.

Petunjuk :

  1. Tulis angka 1 sebanyak n-kali di kolom pertama.
  2. Tulis angka 2 sebagai nilai awal kolom tersebut, angka -2 pada kolom kedua, angka 2 pada kolom ketiga, dan seterusnya, turun satu baris secara bergantian.
  3. Kurangkan kolom kedua terhadap kolom pertama, dimulai dari nilai awal, dan tuliskan hasilnya di bawah angka yang dikurangkan pada kolom kedua.
  4. Ulangi langkah 3, kurangkan kolom ketiga terhadap kolom kedua, dan seterusnya, hingga bentuk rangkaian angka-angka tersebut mirip dengan segitiga sama sisi.
  5. Sisi bawah dari segitiga tersebut memuat faktor pengali yang dimaksud.

Contoh :
Tabel untuk pangkat 10.

Col1 Col2 Col3 Col4 Col5 Col6
2
1 -2
1 -3 2
1 -4 5 -2
1 -5 9 -7 2
1 -6 14 -16 9 -2
1 -7 20 -30 25
1 -8 27 -50
1 -9 35
1 -10
1


Tuliskan angka 2 diikuti angka 1 sebanyak 10 kali di kolom pertama. Pada kolom kedua, tuliskan -2 sebagai nilai awal dan setelah itu kurangkan angka tersebut dengan angka 1 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil -3, kemudian kurangkan hasil tersebut dengan 1 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil -4, dan seterusnya. Pada kolom ketiga, tuliskan angka 2 sebagai nilai awal, kemudian kurangkan dengan angka -3 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil 5, kemudian kurangkan hasil tersebut dengan -4 (sebelah kiri) untuk mendapatkan hasil 9, dan seterusnya. Ulangi langkah di atas hingga bentuk bilangan tersebut mirip dengan segitiga sama sisi.

Maka faktor pengali untuk pangkat 10 adalah 1, -10, 35, -50, 25, and -2.

Tuliskan kembali kesamaan di atas dengan menggunakan faktor pengali yang dihasilkan.
x110+ x210 = 1.(x1+ x2)10 + -10.(x1+ x2)8(x1x2)1 + 35.(x1+ x2)6(x1x2)2 + -50.(x1+ x2)4(x1x2)3 + 25.(x1+ x2)2(x1x2)4 + -2.(x1x2)5

Dari tabel di atas, kita juga dapat menentukan kesamaan untuk pangkat kurang dari 10, misalkan pangkat 5.
x15+ x25 = 1.(x1+ x2)5 + -5.(x1+ x2)3(x1x2)1 + 5.(x1+ x2)1(x1x2)2

Rumus Faktor Pengali
Dengan cara lain, faktor pengali dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.
ak = (-1)k.[n (n-k-1)!]/[(n-2k)! k!] , dimana n adalah pangkat dari kesamaan yang dimaksud.

Dengan menggunakan rumus tersebut, faktor pengali untuk pangkat 10 ditentukan dengan :
a0 = (-1)0.[10.(10-0-1)!]/[(10-2.0)! 0!] = 10.9!/10! = 1
a1 = (-1)1.[10.(10-1-1)!]/[(10-2.1)! 1!] = (-1).10.8!/8! = -10
a2 = (-1)2.[10.(10-2-1)!]/[(10-2.2)! 2!] = 10.7!/(6!.2!) = 35
a3 = (-1)3.[10.(10-3-1)!]/[(10-2.3)! 3!] = (-1).10.6!/(4!.3!) = -50
a4 = (-1)4.[10.(10-4-1)!]/[(10-2.4)! 4!] = 10.5!/(2!.4!) = 25
a5 = (-1)5.[10.(10-5-1)!]/[(10-2.5)! 5!] = (-1).10.4!/0!.5! = -2

Peyelesaian dari pertanyaan di atas adalah x150+ x250 = -1. Silahkan membuktikannya.

Advertisements